(1) 考虑正数情况#

对于正数A.49和B.51我们期望得到A和(B+1)。为得到我们的期望，我们需要至多能给A加0.51，至少要给B加0.49。即，我们至多能给A加(1-0.49)，至少要给B加(1-0.51)。我们需要加入的偏移量Δ应满足(1-0.51)<Δ<(1-0.49)。

我们考虑 $\forall k\in \mathbb{N}^*$, $A.50-10^{-k}<A.50$取整为 $A$, $B.50+10^{-k}>B.50$取整为 $B+1$. 在这种条件下，我们的Δ应满足 $1-\left( 0.5+10^{-k} \right) \leq\Delta <1-\left( 0.5-10^{-k} \right)$.

至此我们可以选择三种方法:

(2) 考虑负数情况#

对于负数-A.49和-B.51我们期望得到-A和-(B+1)。直接取C=-(-A.49)=A.49, D=-(-B.51)=B.51。则注意到在情况(1)中，我们可得C和D在Δ=0.5时有结果分别为A与B+1。则直接全体取反，可得Δ=-0.5时，满足四舍五入的要求。

(1) 考虑正数情况#

我们考虑 $\forall n\in \mathbb{N}^*, \varepsilon>0$, $A.50-\varepsilon<A.50$取整为 $A$, $B.50+\varepsilon>B.50$取整为 $B+1$. 在这种条件下，我们的Δ应满足 $1-\left( 0.5+\varepsilon \right) \leq\Delta <1-\left( 0.5-\varepsilon \right)$, 即 $0.5-\varepsilon \leq \Delta \leq 0.5+\varepsilon$.

至此我们选择下列两种方法:

(2) 考虑负数情况#

考虑 $\forall \varepsilon>0$, 对于负数-A-0.5+ε和-B-0.5-ε我们期望得到-A和-(B+1)。直接取C=-(-A-0.5+ε)=A+0.5-ε, D=-(-B-0.5-ε)=B+0.5+ε。则注意到在情况(1)中，我们可得C和D在Δ=0.5时有结果分别为A与B+1。则直接全体取反，可得Δ=-0.5时，满足四舍五入的要求。

(1) 考虑正数情况#

我们考虑 $\forall n\in \mathbb{N}^*, \varepsilon>0$, $A+0.1(n+1)-\varepsilon<A+0.1(n+1)$取整为 $A$, $B+0.1(n+1)+\varepsilon>B+0.1(n+1)$取整为 $B+1$. 在这种条件下，我们的Δ应满足 $1-\left( 0.1(n+1)+\varepsilon \right) \leq\Delta <1-\left( 0.1(n+1)-\varepsilon \right)$, 即 $0.9-0.1n-\varepsilon \leq \Delta \leq 0.9-0.1n+\varepsilon$.

由于 $\forall \varepsilon >0, \text{均有}0.9-0.1n-\varepsilon \leq \Delta \leq 0.9-0.1n+\varepsilon$, 则对不等式两端同取 $\varepsilon\rightarrow 0$ 的极限，则有 $\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} \left( 0.9-0.1n-\varepsilon \right) \leq \Delta \leq \lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} \left( 0.9-0.1n+\varepsilon \right)$. 进而有 $\Delta=0.9-0.1n$

(2) 考虑负数情况#

考虑 $\forall \varepsilon>0$, 对于负数-A-0.1(n+1)+ε和-B-0.1(n+1)-ε我们期望得到-A和-(B+1)。直接取C=-(-A-0.1(n+1)+ε)=A+0.1(n+1)-ε, D=-(-B-0.1(n+1)-ε)=B+0.1(n+1)+ε。则注意到在情况(1)中，我们可得C和D在Δ=0.9-0.1n时有结果分别为A与B+1。则直接全体取反，可得Δ=-(0.9-0.1n)时，满足n舍n+1入的要求。

(1) 考虑正数域#

由于在正数域下，可得: $\lfloor I + f + \Delta \rfloor = \left\{ \begin{array}{c} I, f < T \\ I + 1, f \ge T \end{array} \right.$

又由底函数性质 $\lfloor I + \alpha \rfloor = I + \lfloor \alpha \rfloor$, 可得: $\lfloor f + \Delta \rfloor = \left\{ \begin{array}{c} 0, f + \Delta < 1 \\ 1, f + \Delta \ge 1 \end{array} \right.$

欲使阈值点 $f = T$ 恰好成为进位临界点，则应有: $\begin{cases} T + \Delta \ge 1 \implies \Delta \ge 1 - T \\ \lim_{\epsilon \to 0} (T - \epsilon) + \Delta < 1 \implies \Delta \leq 1 - T \end{cases}$

即得 $1-T\le \Delta \leq 1-T$, 则有唯一解为: $\Delta = 1 - T$

(2) 考虑负数域#

考虑负数 $-N=-I-f<0$, 其中 $N, I, f>0$.

由于在复数域下，可得: $\lfloor -I-f+\Delta \rfloor =\left\{ \begin{array}{c} -I,f<T\\ -I-1,f\ge T\\ \end{array} \right.$

即有 $\lfloor I+f-\Delta \rfloor =\left\{ \begin{array}{c} I,f<T\\ I+1,f\ge T\\ \end{array} \right.$

令 $\Delta_0 = - \Delta$, 则有 $\lfloor I+f+\Delta_0 \rfloor =\left\{ \begin{array}{c} I,f<T\\ I+1,f\ge T\\ \end{array} \right.$

则由情况(1)，可得 $\Delta_0 = 1 - T$, 进而有: $\Delta =-\left( 1-T \right)$